设定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈均满足:f(x)+f(y)=2f(x+y/2),且f(0)=0,当x>0是,f(x)>0

Question

1、判断并证明f(x)的奇偶性；
2、判断并证明f(x)在R上的单调性；

麻烦快些
谢谢了啊！

Answer 1

解1判断f(x)是奇函数
证明由对任意x,y∈均满足:f(x)+f(y)=2f(x+y/2)
令y=-x
则得f(x)+f(-x)=2f(x+（-x）/2)=2f(0)=0
即f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数，
2判断f(x)是增函数，
证明设x1，x2属于R，且x1＜x2
则f(x2)-f(x1)
=f(x2)+f(-x1)..............(利用奇函数的性质-f(x)=f(-x))
=2f[(x2+（-x1）)/2]
=2f[(x2-x1)/2]
由x1＜x2
知(x2-x1)/2＞0
故f[(x2-x1)/2]＞0...........(利用当x>0是,f(x)>0)
故2f[(x2-x1)/2]＞0
故f(x2)-f(x1)＞0
即f(x2)＞f(x1)
故f(x)是增函数，追问

还是谢谢你！

Answer 2

1. 令y=-x,代入等式，得：f(x)+f(-x)=2f(0)=0
因此f(x)为奇函数。
2. 令x1>x2, 则x1-x2>0,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=2f[(x1-x2)/2]>0
所以f(x1)>f(x2)
因此函数在R上单调增。本回答被提问者采纳