二项式展开项的系数的变化规律

Question

如题所述

Answer 1

第三项系数是
c(n,2)*(-2)^2=2n(n-1)
第5项系数是
c(n,4)*(-2)^4=2n(n-1)(n-2)(n-3)/3
两个系数比是10:1
即（n-2)(n-3)/3=10/1
n^2-5n-24=0
n=8
展开式中第i+1项系数为
c(8,i)(-2)^i
系数的绝对值为c(8,i)2^i
第i+1与i+2项绝对值的比例关系为
c(8,i)2^i/[c(8,i+1)2^(i+1)]=(i+1)/[2(8-i)]>=1
3i>=15
i>=5，即i>=5是，系数绝对值为增数列，i<=5时，系数绝对值为减数列
即i=5时，第6项和第7项的绝对值相同，同为最大值c(8,5）2^5=1792
其中第6项为负数，第七项是正数，所以展开式中最大项为第7项值为1792。