计算对弧长曲线积分∫xyds其中C为抛物线2x=y^2上由点A(1/2,-1)到点B(2,2)的一段弧？

Question

如题所述

Answer 1

曲线两边取微分：
2dx=2ydy，dx=ydy，dx/dy=y
ds=√（dx²+dy²）=√[（dx/dy）²+1]dy=√（y²+1）dy
代入：
∫（1，2）（y²/2）y.√（y²+1）dy
=（1/4）∫（1，2）y²√（y²+1）dy²
设y=tanα，α=π/4~arctan2
原积分=
=（1/4）∫（π/4，arctan2）tan²αsecαdtan²α
=（1/4）∫（π/4，arctan2）tan²αsecα2tanαsec²αdα
=（1/2）∫（π/4，arctan2）tan^3αsec^3αdα
=（1/2）∫（π/4，arctan2）sin^3α/cos^6αdα
=（1/2）∫（π/4，arctan2）(-1+cos²α）/cos^6αdcosα
=（1/2）∫（π/4，arctan2）(-cos^-6α+cos^-4α）dcosα
=（1/2）[-1/(-5)cos^-5α+1/(-3).cos^-3α]（π/4，arctan2）
=（1/2）[1/5cos^5α-1cos^-1/3cos^3α]（π/4，arctan2）
cos(π/4)=1/√2，1/cos(π/4)=√2；
cosarctan2=1/√5，1/cosarctan2=√5
代入：
=（1/2）[1/5.[√5^5-√2^5]-1/3.【√5^3-√2^3】]
=（1/2）[1/5.[25√5-4√2]-1/3.【5√5-2√2】]
=（1/2）[5√5-4√2/5-5√5/3+2√2/3]
=（1/2）[10√5/3-12√2/15+10√2/15]
=（1/2）[10√5/3-2√2/15]
=5√5/3-√2/15

Answer 2

Answer 3