求z=(1+xy)∧y的偏导数

Question

如题所述

Answer 1

z=(1+xy)^y=e^[(ln(1+xy))*y]

取对数：

lnz=y*ln(1+xy)

求全微分：

dz/z=(1/(1+xy))y*ydx+ln(1+xy)dy+(xy/(1+xy))dy

=(1/(1+xy))y*ydx+[ln(1+xy)+(xy/(1+xy))]dy

所以：

dz/dy=[（1+xy）^y]*[ln(1+xy)+(xy/(1+xy))]

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

Answer 2

此题这样做：

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Answer 3

简单分析一下，答案如图所示