这一类题目是利用导数求函数最值的问题。首先构造函数，然后求导后求函数的单调性，最后求出函数最值。详情如图所示:
未完待续
（2）比较复杂。尽力而为提供思路。
供参考，请笑纳。
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第1个回答 2022-01-16
第一问得a≥1，
令h(x)=[(lnx)/x+1]e^(-x),g(x)=(lnx)/x+1,
h'(x)=(1-lnx)/x^2*(e^(-x))-e^(-x)[lnx)/x+1]=e^-x/x^2[1-lnx-xlnx-x^2],
t(x)=[1-lnx-xlnx-x^2,
t'(x)=-1/x-lnx-1-2x,显然单调递减，
且t(1)=0,
则x∈（0.1）h'(x)＞0，单调递增，x∈（1，+无穷），h'(x)＜0，单调递减
h(x0max=h(1)=1/e,,
又g‘（x）=(1-lnx)/x^2,则（0，e）g'(x)＞0单调递增，x∈（e，+无穷），g'(x)＜0，单调递减
g(x)max=g(e)=1/e+1,
故h(x)max+g(x)max=2/e+1,
所以[(lnx)/x+1]e^(-x),+(lnx)/x+1＜2/e+1,
即[(lnx)/x+1]【e^(-x)+1】＜2/e+1,
令h(x)=[(lnx)/x+1]e^(-x),g(x)=(lnx)/x+1,
h'(x)=(1-lnx)/x^2*(e^(-x))-e^(-x)[lnx)/x+1]=e^-x/x^2[1-lnx-xlnx-x^2],
t(x)=[1-lnx-xlnx-x^2,
t'(x)=-1/x-lnx-1-2x,显然单调递减，
且t(1)=0,
则x∈（0.1）h'(x)＞0，单调递增，x∈（1，+无穷），h'(x)＜0，单调递减
h(x0max=h(1)=1/e,,
又g‘（x）=(1-lnx)/x^2,则（0，e）g'(x)＞0单调递增，x∈（e，+无穷），g'(x)＜0，单调递减
g(x)max=g(e)=1/e+1,
故h(x)max+g(x)max=2/e+1,
所以[(lnx)/x+1]e^(-x),+(lnx)/x+1＜2/e+1,
即[(lnx)/x+1]【e^(-x)+1】＜2/e+1,
第2个回答 2022-01-16
【件答】（1）T（X）的定又为（0，+0），当a=1时，f（x）=x-1nx，f'（x）=1--1，x x|（o，1）|1|（1，+oo）
f'（x）|-0十
f（x）|极小
所以f（x）在x=1处取得极小值1.
（Ⅱ）h（x）=x+L+a-alnx，
2Y0=11+a ax2-ax-（1+a）_（x+1）x-（1+0l xxx2x²
①当a+1>0时，即a>-1时，在（0，1+a）上h'（x）<0，在（1+a，+o）上h'（
所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+o）上单调递增；
②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+o）上h'（x）>0，所以，函数h（x）在（0，+o）上单调递增.
（III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）<g（x0）成立，即左11L右在与估泪1了、n
f'（x）|-0十
f（x）|极小
所以f（x）在x=1处取得极小值1.
（Ⅱ）h（x）=x+L+a-alnx，
2Y0=11+a ax2-ax-（1+a）_（x+1）x-（1+0l xxx2x²
①当a+1>0时，即a>-1时，在（0，1+a）上h'（x）<0，在（1+a，+o）上h'（
所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+o）上单调递增；
②当1+a≤0，即a≤-1时，在（0，+o）上h'（x）>0，所以，函数h（x）在（0，+o）上单调递增.
（III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）<g（x0）成立，即左11L右在与估泪1了、n
第3个回答 2022-01-16
第一问得a≥1， 令h(x)=[(lnx)/x+1]e^(-x),g(x)=(lnx)/x+1, h'(x)=(1-lnx)/x^2*(e^(-x))-e^(-x)[lnx)/x+1]=e^-x/x^2[1-lnx-xlnx-x^2], t(x)=[1-lnx-xlnx-x^2, t'(x)=-1/x-lnx-1-2x,显然单调递减， 且t(1)=0, 则x∈（0.1）h'(x)＞0，单调递增，x∈（1，+无穷），h'(x)＜0，单调递减 h(x0max=h(1)=1/e,, 又g‘（x）=(1-lnx)/x^2,则（0，e）g'(x)＞0单调递增