第1个回答 2022-01-16
第一问得a≥1,
令h(x)=[(lnx)/x+1]e^(-x),g(x)=(lnx)/x+1,
h'(x)=(1-lnx)/x^2*(e^(-x))-e^(-x)[lnx)/x+1]=e^-x/x^2[1-lnx-xlnx-x^2],
t(x)=[1-lnx-xlnx-x^2,
t'(x)=-1/x-lnx-1-2x,显然单调递减,
且t(1)=0,
则x∈(0.1)h'(x)>0,单调递增,x∈(1,+无穷),h'(x)<0,单调递减
h(x0max=h(1)=1/e,,
又g‘(x)=(1-lnx)/x^2,则(0,e)g'(x)>0单调递增,x∈(e,+无穷),g'(x)<0,单调递减
g(x)max=g(e)=1/e+1,
故h(x)max+g(x)max=2/e+1,
所以[(lnx)/x+1]e^(-x),+(lnx)/x+1<2/e+1,
即[(lnx)/x+1]【e^(-x)+1】<2/e+1,
第2个回答 2022-01-16
【件答】(1)T(X)的定又为(0,+0),当a=1时,f(x)=x-1nx,f'(x)=1--1,x x|(o,1)|1|(1,+oo)
f'(x)|-0十
f(x)|极小
所以f(x)在x=1处取得极小值1.
(Ⅱ)h(x)=x+L+a-alnx,
2Y0=11+a ax2-ax-(1+a)_(x+1)x-(1+0l xxx2x²
①当a+1>0时,即a>-1时,在(0,1+a)上h'(x)<0,在(1+a,+o)上h'(
所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+o)上单调递增;
②当1+a≤0,即a≤-1时,在(0,+o)上h'(x)>0,所以,函数h(x)在(0,+o)上单调递增.
(III)在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,即左11L右在与估泪1了、n
第3个回答 2022-01-16
第一问得a≥1, 令h(x)=[(lnx)/x+1]e^(-x),g(x)=(lnx)/x+1, h'(x)=(1-lnx)/x^2*(e^(-x))-e^(-x)[lnx)/x+1]=e^-x/x^2[1-lnx-xlnx-x^2], t(x)=[1-lnx-xlnx-x^2, t'(x)=-1/x-lnx-1-2x,显然单调递减, 且t(1)=0, 则x∈(0.1)h'(x)>0,单调递增,x∈(1,+无穷),h'(x)<0,单调递减 h(x0max=h(1)=1/e,, 又g‘(x)=(1-lnx)/x^2,则(0,e)g'(x)>0单调递增