解答:
![](https://video.ask-data.xyz/img.php?b=https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/5fdf8db1cb1349546250efe5554e9258d0094ae0?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
(Ⅰ)证明:在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,
易知面ACC
1A
1⊥面ABC,∵∠ACB=90°,
∴BC⊥面ACC
1A
1∵AM?面ACC
1A
1,∴BC⊥AM.∵AM⊥BA
1,
且BC∩BA
1=B,∴AM⊥平面A
1BC.
(Ⅱ)解:设AM与A
1C的交点为O,连接BO,
由(Ⅰ)可知AM⊥OB,且AM⊥OC,
所以∠BOC为二面角B-AM-C的平面角.
在Rt△ACM和Rt△A
1AC中,∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠AA
1C=∠MAC.∴Rt△ACM∽Rt△A
1AC.∴AC
2=MC?AA
1.
∴MC=
.
∴在Rt△ACM中,AM=
.
∵
AC?MC=AM?CO,
∴CO=1.
∴在Rt△BCO中,tan∠BOC=
=1.
∴∠BOC=45°,故所求二面角的大小为45°.
(Ⅲ)在ABC中,作CD⊥AB于D,连接DM,则AB⊥面MCD,AB?面MAB,
∴面MAB面⊥面MCD且交线为MD,
在△MCD中,作CO⊥MD,则CO⊥面 MAB,CO为点C到平面ABM的距离.
∵MC=
,CD=
,∴由勾股定理得MD=
,
利用等面积法:MD×CO=MC×CD,∴CO=
,即点C到平面ABM的距离是
.