考研高数，曲线积分。为什么此题积分路径与曲线无关就可以用半径为1的圆来替换路径？

Question

如题所述

Answer 1

作位于椭圆内的小圆x²+y²=1，
记椭圆与小圆围成的区域为D，
可用格林公式把D的边界曲线上的曲线积分化成D上的二重积分，
表达式为∫∫<D>。。。=∫<椭圆逆时针>…+∫<小圆顺时针>…，
因为积分与路径无关，
所以∫∫<D>。。。=0，
从而得到∫<椭圆逆时针>…=-∫<小圆顺时针>…=∫<小圆逆时针>…。