弹性波及其特征

Question

如题所述

Answer 1

在外力作用下弹性介质中质点产生位移，当外力消除后质点恢复到原来位置，并在惯性力的作用下向相反方向位移一段距离，然后又回复，质点围绕原来的平衡位置发生振动。弹性介质中质点发生振动时，一个质点的振动会引起邻近质点的振动，邻近质点的振动又会引起较远质点的振动。这样，振动就以受力激发点为中心，以一定的速度由近及远地向各个方向传播出去，形成弹性波场。弹性波的传播是振动状态的传播，是激发能量的传播，单位时间传播的距离称为波速。如果是各向同性的均匀介质，则各向的波速是相等的。如果质点往返的振动方向和波的传播方向相互垂直则该波称为横波；因是介质剪切形变在介质中传播，故又称剪切波，称S波。如果质点的振动方向和波的传播方向相互平行，则称为纵波，是介质拉伸与压缩形式的传播，故称压缩波（或称P波）。

表6.1.1 若干种浅层岩土介质中波速值与波阻抗

波动的最前沿叫波前，各波前相连的面叫波阵面。显然，波阵面上各点的振动相位相同。在均匀介质中波阵面是以振源为中心的球形（图6.1.2（a））。与波阵面垂直指向传播方向的射线叫波射线或波线。除此之外，还有瑞利波和勒夫波，他们仅存于弹性介质分界面附近。瑞利波是沿岩土介质与大气接触面传播的，因此称为面波。与S波，P波不同，它是质点在通过传播方向的垂直面（xz面内）内沿椭圆轨迹作逆时针运动（图6.1.2（b）），其椭圆长短轴之比约为3∶2。在介质内强度随深度呈指数衰减，但在水平方向衰减很小，传播速度接近于横波，用以对表层介质勘查具有特殊的成效。

图6.1.2 弹性波特性示意图

地震勘探所用的激发震源主要是冲击或者炸药爆炸，都是脉冲式瞬态激发，在不远处使介质产生弹性形变，形成弹性波在岩土介质中沿射线方向传播。由于介质的波阻抗作用，使激发的弹性波成为阻尼振动（图6.1.2（c））。

任何复杂的波形都是由若干种正弦波组成的，所以正弦波为基本波形。质点位移随时间变化关系的余弦曲线称波形图（见图6.1.2（c））。质点离开平衡位移的最大值叫振幅，用A表示。波线上两个相邻的相位相同的质点之间的距离（即完整的波长度），称为波长，用λ表示。单位距离内波长的数目叫空间频率（也叫波数），常用k表示，k=

波传过一个波长的时间，叫波的周期T（图6.1.2（c））；周期的倒数1/T=f，称为频率。f与2π的乘积称角频率（ω=2πf）。

波的传播速度v和波长及周期T（或频率f）之间的关系是

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从正弦函数性质可知波的相位关系，当相移（也叫相位差）为±2nπ（n=0，1，2，…）时，函数值相等，则称其处于相同的相位。当相移为（2n-1）π（n=0，1，2，…）时，则呈相反的相位。

平面波指的是波前为平面，除在波前面上各点振动状态相同外，在波传播过程中其振幅是常数。波动形态呈正弦（或余弦）形式，则称为平面谐波。平面谐波是最简单的，从运动学角度来看，平面余弦行波在理想的无吸收的均匀无限介质中传播时，平面波动方程的形式为

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式中：A是振幅，ω是角频率，x是质点在时刻t离开平衡位置的位移（如横波，位移方向与x方向垂直；纵波，位移沿x方向），v为波速。波动方程表示在给定时刻波线上各不同振动质点的位移（即波剖面），它表明了波峰（振幅极大点）和波谷（振幅极小点）或稠密或稀疏的分布情况。波动方程反映了波动的传播，在地震勘探中检波器的记录就是波动记录。在地震记录上波峰（波谷）也称为相位。相同相位点的连线叫同相轴。

6.1.2.1 地震波的传播速度和时间场

由于地震波具有与光波、声波相类似的波动特性，因此在传播过程中其完全适用于光波和声波所遵从的基本原理，如惠更斯原理和费马原理。像光波一样，若已知地震波在 某时刻的波前位置，根据惠更斯原理，就可以求出任意时刻新的波前位置；反之也可以确定波前到达介质中任意点的时间。费马原理又称射线原理或最小时间原理，说明地震波总是沿波射线方向传播，旅行时间最短。

（1）地震波的传播速度

地震波在岩土介质中的传播速度，决定于介质的弹性参数。根据弹性力学理论，可以导出纵波（P）与横波（S）在介质中的传播速度表达式。

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根据计算，泊松比σ与v_P/v_S的关系列于表6.1.2。

表6.1.2 泊松比σ与v_P/v_S的关系

由此可见，横波速度比纵波速度低。地震勘查中横波方法对地下薄层的分辨能力优于纵波。地层富含水或油或有机污染物时，对纵波的速度影响较大，对横波速度几乎没有影响，说明根据纵波与横波比值变化，是勘查岩土层中含水或有机污染物以及分辨岩性的重要方法。

根据理论分析和观测表明，瑞利面波速度v_R＜v_S＜v_P。对于大多数岩石，泊松比σ=0.25和λ=μ时：

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可见瑞利面波v_R与横波v_S相接近，用以对于松散表层勘查可以取得好的效果。

（2）地震波传播的时间场

根据费马原理，可确定沿射线方向传播的地震波到达空间某点的时间，这些时间函数所确定的空间分布，称时间场。这些等时间的波前相连构成等时面。如果是均匀各向同性介质，则等时面是以震源为中心的同心球。对于非均匀介质，则等时面为一系列不规则的曲面。

波射线始终是垂直等时面，波射线的方向就是时间的梯度方向。如图6.1.3所示，假设地震波t₁时位于等时面Q₁，经Δt时间后于t₂时到达Q₂位置，Q₁与Q₂之间距离为Δs，波速度为v，由梯度定义可得

图6.1.3 P射线的时间场梯度方向示意图

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在三维直角坐标系中，可改写为

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将（6.1.10）式平方后改成标量式

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该（6.1.11）式称为波射线方程，表示地震波传播过程中所经过的空间与时间的关系式。

6.1.2.2 地震波的频率和振幅

任何形式人工激发产生的地震波，均具有连续的频率振幅谱分布。对于不同震源激发产生的反射波，折射波和面波都有各自的频谱范围。了解这些，有利于在数据采集和资料处理时，克服干扰，提高信噪比，获得好的地质效果。

任何一个复杂的地震波，都可以看作是由无限多个正弦谐波叠加组成，而这些谐波的频率，振幅和初相位各有不同。振幅随频率变化的关系称振幅谱，初相位随频率变化的关系称相位谱，统称之为地震波的频谱关系，可以用一个波形函数A（t）来描述。频谱分析是地震勘查的重要基础，如根据记录有效波和干扰波的频谱差异，可以指导野外数据采集工作布置；对数字滤波和资料处理提供参考。

前面给出的（6.1.11）式是地震波在时间域的表示形式是波形函数的一种，是以傅里叶变换为基础的地震波频谱分析的一种，还可以利用傅里叶变换将波形函数A（t）变换到频率域，得到波振幅随频率变化的函数a（t）。

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式（6.1.12）为傅里叶正变换式，式（6.1.13）为傅里叶反变换。两者形式相似，但积分变量不同，指数符号相反，这些都是地震数据频谱分析的基础方程。

6.1.2.3 地震波的衰减

地震波从激发、传播到接收，影响振幅和波形变化的因素是多种多样的，而我们主要讨论地震波在介质中传播过程的衰减规律，重点是两个方面：一是波前发散，二是岩土介质的吸收。

波前发散是指随着传播距离的增大，点震源的球面波前不断扩展。震源输出的总能量因球面增大而发散，单位面积上能量流减小，使振动的振幅逐渐减小。假若震源输出总能量为E，球面波前面积为S，单位面积上能量为e，球半径为r，那么：

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可见能量e与振幅A的平方成正比，因此可得

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式中C=E/4π，可见震源输出的弹性波的振幅与传播距离成反比的规律衰减。

实际的岩土介质并非理想的弹性介质，地震波在传播过程中，质点间因摩擦而消耗振动的能量，使振幅减小，其衰减规律为

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式中：A₀为地震波的初始振幅；α（f）为与频率有关的吸收系数，单位为（1/m），表示单位传播距离的衰减率（有时也用单位波长分贝（dB）数表示）。一般松散介质吸收系数大。对于同一种介质吸收系数与波的频率成正比，即频率高吸收系数大，所以地震波在传播中高频成分损失较快。往往是近地表的浅层地震波高频成分多，传入深层后低频成分较多。这就是大地的低通滤波效应。

综合（6.1.15）和（6.1.16）式可统一写成

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地震波在传播中的能量变化特征是岩性地震勘探的重要组成部分，是构成浅层环境污染探测的重要方法之一。

6.1.2.4 地震波的反射、透射、折射和时距曲线

弹性波像光一样遵循波动传播原理，当波遇到弹性性质突变的分界面时，一部分能量返回到入射的同一介质中，一部分透射到另一介质中，沿射线方向的入射波将产生反射、折射和透射现象，如图6.1.4所示。

假设有地下地层界面DD′，上面介质W₁中的波速为v₁，下面层介质W₂速度为v₂，且v₂＞v₁。波的入射角为θ₁，反射角为θ′₁，折射角为θ₂，波在上层介质中的传播速度为v₁，在下层中传播速度为v₂。那么入射波与反射波的关系式为

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入射波与透射波的关系式为

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由斯奈尔定律可得=p

（6.1.20）

式中p是描述射线路径的射线常数；θ₁、v₁分别为在第i层介质中的射线与界面法线间的夹角，以及该层的速度。

（1）折射波的形成

图6.1.4 反射、透射、入射波、反射波、透射波与界面关系

在界面（见图6.1.4）以下介质中速度v₂大于界面以上的速度v₁时。根据斯奈尔定律，地震波的入射角小于透射角，即θ₁＜θ₂。当入射角θ₁继续增大到某一角度

θ_i时，将使透射角θ₂=90°，这时根据（6.1.20）式可写出下式

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这时的透射波将沿界面滑行，称滑行波。如图6.1.5所示，θ_i称临界角，波的入射点R₁称临界点，当滑行波沿界面滑行传播时，根据惠更斯原理，必然引起界面上各质点的振动，每个点都可以看作是一个新的振动源，在上覆岩层中产生新的弹性波，地震勘探中称之为折射波。可以证明，折射波总是以临界角θ_i=θ_i′从界面射出（见图6.1.5）。在临界点R₁R₁′区间内不产生折射波，如果地面与界面W₁W₂间面是平行面，则在地面BB′区域内接收不到折射波，称之为折射波的盲区。盲区半径为OB=2htanθ_i′，表明界面深度h越大，或上下层v₁和v₂相差越大，则盲区（OB）半径越大。

图6.1.5 折射波的形成

折射波沿界面的运行速度v₂总是大于v₁，所以折射波总是先行到达观测点，呈初至波出现，少受干扰，是折射波勘探方法的优点所在。

（2）地震波的时距曲线

地震波的直达波、折射波和反射波在介质中旅行的距离与时间的关系称之为时距曲线。

直达波是从震源出发由地面直接到达地面接收点的地震波。旅行的距离x与所需时间t的关系为

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图6.1.6 平行两层介质折射波时距离曲线

式中v为地震波速度。式（6.1.22）为直达波的时距曲线方程，如图6.1.6中曲线OF。曲线的斜率m=Δt/Δx=1/v。由此式可以求出地表岩层的波速。

水平界面两层介质折射波的时距曲线。假定在上层面向下深度h处，有水平界面R，符合折射波形成条件，下层波速v₂大于上层波波速v₁。如图6.1.6所示，从震源点O至地面接收点R距离为x，折射波旅行路程为OM、MP、PR之和，则旅行时间为

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经过几何换算可改写为

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式（6.1.24）为平行两层介质折射波时距曲线方程，如图6.1.6所示，为一条直线DWS。其斜率为1/v₂。若令x=0，由（6.1.24）式可得截距时间

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根据截距时间t₀，若已知v₁和v₂，可以求出界面的深度。

同样，对于平行三层界面，如图6.1.7所示，其中v₃＞v₂＞v₁。用上述类似方法，可以导出三层介质R₂界面的折射波时距曲线方程为

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可见其为一直线方程，如图6.1.7中曲线S₃所示。S₂为界面R₁的折射波时距曲线。S₁为直达波时距曲线。在曲线相交处，表示两种波同时到达，形成彼此干扰。这就表明对于多层介质，这样的相交点更多，干扰也要增多。对于地下浅层岩土介质并不都是上述这样理想的介质层，可能中间夹有低速层，如含水层、泥砂层等，这些低速层甚至是不规则的局部的，使时距曲线复杂化。

反射波的时距曲线。与折射波不同，以讨论平行两层界面为例。如图6.1.8所示，假设地下深度h处有界面R，在O点激发产生地震波，传播到界面仅产生反射，在地面D₁、D₂、D₃处接收到反射波。根据镜像反映原理对应有虚震源点O′，从虚震源发出射线，可以看成到达地面D₁、D₂、D₃接收点，是以直达波形式v₁速度，到达地面接收点。得反射波时距曲线

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式（6.1.27）为反射波时距曲线方程，为对称于纵坐标的双曲线。在离震源点O足够远处与直达波时距曲线相重合。

图6.1.7 平行三层介质的折射波时距曲线

图6.1.8 平行介质反射波时距曲线