思路:假设△ABC是已知三角形,如果内接正方形EFGH有两顶点E、F在BC上,
此时设BC=a,AC=b,AB=c,BC边上的高AD=h1, 设正方形EFGH的边长是x,
(又假设AC、AB边上的高分别为h2、h3)
1) 并且设△ABC是任意锐角三角形,并且a>b>c
由△ABC∽△AHG,所以高的比等于相似比
即:x/a=(h1-x)/h1,所以内接正方形边长x=ah1/(a+h1)
如果有两顶点在AB、AC边上时也同样可以得:边长为:bh2/(b+h2),ch3/(c+h3)
要使内接正方形面积最大,则边长应最大,
下面比较ah1/(a+h1)、bh2/(b+h2),ch3/(c+h3)的大小即可
因为△ABC的面积S=ah1/2=bh2/2=ch3/2,即 ah1=bh2=ch3
所以分子相同,分母越小,分数越大
比较a+h1、b+h2、c+h3
由(a+h1)-(b+h2)=(a-b)+(h1-h2)=(a-b)+(2S/a-2s/b)
=(a-b)+2S(1/a-1/b)=(a-b)(1-2S/ab)
=(a-b)(ab-2s)/ab (S是△ABC的面积)
由垂线段最短,知b大于高h1,即ab>ah1,而ah1=2S,
所以(a-b)(ab-2s)/ab >0
所以 a+h1>b+h2 ,即如果内接正方形有两个顶点在BC边上时,
边长较小,面积也较小
同理,如果有两顶点在AC边上时 其面积比两点在AB边上小
因此得结论:当内接正方形有两个顶点在最小边上时,其面积最大
此时内接正方形的边长是:ch3/(c+h3) (设最小边是c,这边上的高是h3)
面积就是其平方了。
2)直角三角形其内接正方形面积最大应为一顶点与直角顶点重合,三边上各有一顶点。
其边长为:两直角边之积/两直角边之和 。
3)类似方法讨论,任意钝角三角形,内接正方形的两个顶点在钝角所对的边上时面积最大,
其边长为:最大边与这边上的高的积/最大边与这边上高的和
追问
谢谢,做出来了