高数 微分方程

Question

y^3 y''=-1,求当x=1,y=1,y'=0时的特解 答案x^2+y^2=2x 求详解

Answer 1

令p=y'
则y"=pdp/dy
代入原方程：
y^3 pdp/dy=-1
pdp=-dy/y^3
积分：p^2/2=1/(2y^2)+C1
代入y(1)=1, y'(1)=0,得：0=1/2+C1得：C1=-1/2
得p²=1/y²-1=(1-y²)/y²
得p=±√(1-y²)/y,
即ydy/√(1-y²)=±dx
d(1-y²)/[2√(1-y²)]=±dx
积分：√(1-y²)=±x+C2
代入y(1)=1, 得0=±1+C2,
所以得：√(1-y²)=x-1,或√(1-y²)=-x+1
平方，有：1-y²=x²+1-2x
得：x²+y²=2x

Answer 2