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A的值和B的秩的和与n的关系
A,B是
n
阶非零矩阵,
AB
=0,
A的秩
加上
B的秩
小于等于n成立吗
答:
即
秩
(A)+秩(
B
)≤
n
ab
等于0,
a的
秩加
b的秩
小于等于
n
答:
因此,a的行空间和列空间的维数之和小于n。
由于a的秩加b的秩小于等于n,a的秩加b的秩必然小于n
。因此,我们可以得出结论:如果ab=0且a的秩加b的秩小于等于n,那么a和b中至少有一个是奇异矩阵。奇异矩阵的应用广泛 例如在求解线性方程组、判断矩阵的秩和逆、数值分析和机器学习等领域都有涉及。在...
...是怎么得到A
和B的秩
均为
n的
?为什么不是仅得到
A和
B中较小一个的秩为...
答:
因为A是m行n列的,所以A的秩小于等于m也小于等于n
,又因为m>n,所以A的秩小于等于n;同理B的秩也小于等于n;由那个式子,A的秩大于等于n,B的秩也大于等于n;所以只能等于n
r(A)+ r(
B
)
与n的
什么
关系
?
答:
关系是r(A)+r(B)<=n
。因为AB=0,所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论,AX=0的基础解系中线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)≤ n-r(A)。而B的列向量组是解空间的一部分,所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系...
A
和B
均为
n
阶矩阵,他们
秩和
小于n,证明他们特征值为零的特征向量相同
答:
把 A
和 B
叠成一个 2n x
n的
矩阵P,由于 r(A)+r(B)<n,所以这个叠起来的矩阵
的秩
r(P)小于n 所以方程 Px=0存在非0解,设为x 所以 Px=0 也就是 A x =0 B x =0 所以x是 A,B特征值为0的 共有特征向量 得证
向量组
的秩
有什么性质?
答:
1、矩阵的行秩,列秩,秩都相等。2、初等变换不改变矩阵
的秩
。3、如果A可逆,则r(
AB
)=r(B),r(
BA
)=r(B)。4、矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};引理:设矩阵A=(aij)sx
n的
列秩等于
A的
列数n,则A的列秩,秩都等于n。当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子...
线性无关的两个矩阵是不是
秩
都为
n
?
答:
是的,因为A是m*
n
矩阵,B是n*l矩阵,因为线性无关,所以
A的
秩为n,
B的秩
为l。又因为A可逆,所以AB的秩等于B的秩等于l,所以得出结论二者无关。若要判断两个线性无关的向量组相乘所得的矩阵是否相关,最直接的办法是一组向量中任意一个向量是否能由其它几个向量线性表示。如果可以则是线性相关...
线性表示中, A
和B的秩
有什么意义?
答:
因为:1、AX=
b
有解的充分必要条件是r(
A
)=r(A,b)。2、AX=b有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A,b)=
n
。设向量b可由向量a1,a2,as线性表示。证明a1,a2,as线性无关的充分必要条件是b可由a1,a2,as线性表示的表示方法唯一。
AB=0,A和B都是
n
阶矩镇,
A和B的秩的关系
答:
设 rankA=r,r<
n
。由于
AB
=0,因此
B的
列向量P1,P2,P3...P(n),中每个向量都是n元线性方程组的解,从而P1,P2...P(n),可以由AX=0的一个基础解系Q1,Q2...Q(n-r)线性表出。所以rankB<=n-r,rank+rank<=n
如何证明A
B的秩
≥
A的
秩+B的秩-
n
答:
这也就是所谓的Frobinius公式,他是薛尔福斯特公式公式得特列,薛尔福斯特公式:rank(ABC)>=rank
AB
+rankBC-rankB 其中令B=E即为Frobinius公式。
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