用反证法, 假设Y∪A不连通, 则存在Y∪A的非空开子集F, G, 满足F∪G = Y∪A, F∩G = Ø .
考虑M = F∩Y与N = G∩Y, 则M, N为Y的开子集, 并满足M∪N = Y, M∩N = Ø.
而Y连通, 故M或N为空集, 不妨设N为空集, 即G∩Y = Ø, 也即G ⊆ A.
G是Y∪A中的开集, 故存在X中的开集U, 使G = U∩(Y∪A).
又A是X-Y中的开集, 故存在X中的开集V, 使A = V∩(X-Y).
而X-Y是A与B的无交并, 因此X是A, B, Y的无交并.
再由G ⊆ A易得G = U∩V, 于是G为X中开集.
另一方面, G = Y∪A-F为Y∪A中的闭集, 故存在X中的闭集S, 使G = S∩(Y∪A).
又A = (X-Y)-B为X-Y中的闭集, 故存在X中的闭集T, 使A = T∩(X-Y).
由X是A, B, Y的无交并与G ⊆ A, 可得G = S∩T, 于是G也为X中闭集.
G是X的既开又闭的非空子集, 由X连通, 有G = X, 于是F = Ø, 矛盾.
因此Y∪A连通.
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