一道高中数学题:定义在R上的非零函数f(x)对于任意实数x,y拥有f(x+y)=f(x)·f(y),

Question

一道高中数学题:定义在R上的非零函数f(x)对于任意实数x,y拥有f(x+y)=f(x)·f(y),且当x>0时，0＜f(x)<1。求证:f(x)>0。请写出详细过程 谢谢！

Answer 1

首先x>0,显然
x=0时,f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0) 所以f(0)=1
x<0时,f(x)=f(0.5x+0.5X)=(f(0.5x))^2>=0
下证明x<0时,f(x)不等于0
若f(x)=0,令f(x)=f(a)*f(x-a)=0
则不论是f（a)或f（x-a）=0
都与非零函数相矛盾
所以是大于0的

Answer 2

证明：令x>0，y=0，f(x+0)=f(x)·f(0)，f(x)为非零函数，则f(0)=1
令x>0，y=-x，则y<0，f(0)=f(x)·f(y)=1，f(y)=1/f(x)，0＜f(x)<1，f(y)>1
综上，对于任意x属于R，f(x)>0追问

那x<0呢

追答

就是刚才第二句y1啊
或者重新写一下，将x和y换个位置
令x0，0＜f(y)1
即x1