问下泰勒公式，为什么需要连续导数？

Question

从公式来讲仅仅用到a这点的导数，什么一次二次N次导数。。。a以外的点并没有涉及到导数存在（最起码上面的表达式中没有用到a以外的点）的问题。。 为什么要连续呢？ 假如 a∈(s,t)或者我换个提问的方式：证明泰勒公式的时候，“连续导函数”这个条件在什么地方用到了，同济的破书我看了几遍也没发现它证明的时候用到连续这个条件。。。。哎！ 泰勒公式什么的各种不理解都有。。。。另外还想问问，书上说的“在a,b内具有只到n+1次的导数”意思是说：在（a,b）内（不包括a，b这2个点）每一点都能导n+1次？2个问题，谢谢！！

Answer 1

1。我是自学的微积分 看的是华中科技大学的教材 其实也是破书 很多地晦涩 但该公式证明倒比较详细，你可以看看该公式是如何构造的，又是如何证明出来的。看看华科的教材，第122到第123这两页，已经讲的很清楚了，多看两遍就懂了。

具体到你说的连续倒数，主要是在证明拉格朗日余项时，反复使用了柯西中值定理，而该定理的前提条件是连续和可导。同时，在证明的过程中，还需要在第N+1项时使用柯西定理，故又假设了第N+1项可导。

其实你的疑问还是要看书，光听我们将是讲不清楚的；

2。你的理解是正确的，在（a,b）内具有到n+1次的导数，是指不包括ab的导数；另外，如果是定义在闭区间ab上，则包括端点单侧导数的情况；原因是，该公式是在闭区间的ab上证明出来的，而证明过程中使用了闭区间端点的单侧导数（你看书上证明的过程就明白了）。另外，既然闭区间上成立，那么无限个趋近开区间的闭区间就都成立，所以开区间（ab）上是可以用的，但却不包括点A和点B的导数。因为你永远取不到AB,哪怕是单侧的AB,这点确实需要区分。

根据我的经验，看懂过程后记住公式就成了，不必纠缠细节。祝愿你天天向上，学习进步。

Answer 2

我看书上泰勒定理只要求f(x)n阶可导啊，因为公式里只用到了n阶导数，可导一定连续，也就是前n-1阶导数都是连续的，第n阶导数不一定连续，但是如果想得到拉格朗日型余项，就必须n+1阶可导。

Answer 3

泰勒公式的证明中，不断用的是柯西定理，该定理要求f(x)的k阶导数连续且可导

你的理解是对的，对任意x属于(a.b), x的1阶，2阶，...，直至n+1阶导数都存在。