特征值与特征向量的研究现状如何？

Question

如题所述

Answer 1

在国内外有很多关于特征值与特征向量的研究成果，并且有很多专家学者涉足此领域研问题，吴江、孟世才、许耿在《浅谈线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发，引入矩阵的特征值与特征向量的定义；郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用；矩阵的特征与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶。陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题特征值理论是线性代数中的一个重要的内容；当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐。赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程。汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤；岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法；张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论；刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用；冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题等等。
在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的归纳使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用归纳阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，以及部分在实际生活中的应用。在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来。
矩阵的特征值可以确定所发现的特征多项式的根。多项式的根的显式代数公式仅当存在比率为4以下。根据阿贝尔鲁菲尼定理5个或5个以上的多项式的根源是没有一般情况下，明确和准确的代数公式。事实证明，任何程度的多项式是一些同伴阶矩阵的特征多项式。因此，5个或更多的顺序的矩阵的特征值和特征向量不能获得通过明确的代数公式，因此，必须计算的近似数值方法在理论上，可以精确计算的特征多项式的系数，因为它们是矩阵元素的总和，有算法，可以找到任何所需的精度。然而，任意程度的多项式的所有根这种方法在实践中是不可行的，因为系数将被污染的不可避免的舍入误差，多项式的根可以是一个极为敏感的功能例如由威尔金森的多项式系数。