基本不等式求最值问题

Question

设x,y是正实数，且x+y=1，则x²/（x+2）+y²/（y+1）的最小值是-----------
求详解！！
O(∩_∩)O谢谢

Answer 1

由已知x，y是正实数，且x+y=1，则
x²/(x+2)+y²/(y+1)
=(x²-4+4)/(x+2)+(y²-1+1)/(y+1)
= (x-2)+(y-1)+4/(x+2)+1/(y+1)
= 4/(x+2)+1/(y+1)-2
=4/(x+2)+1/(2-x)-2
=(10-3x)/(4-x²)-2
设
f(x)=(10-3x)/(4-x²)
求导得
f'(x)=(-3x²+20x-12)/(4-x²)²
令f'(x)=0可得
x=2/3（或6舍）
故
(0，2/3)为单调减区间，(2/3，1)为单调增区间
即
当x=2/3时，f(x)取最小值
此时
x²/(x+2)+y²/(y+1)=f(x)-2也取得最小值
计算可得最小值=1/4

Answer 2

x²/（x+2）+y²/（y+1）
=4/(x+2) +1/(2-x) -2