线性代数证明题

Question

设A=(r1,r2,...,rt),B=(n1,n2,...,ns),证明AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是r1,r2,...,rt,n1,n2,...,ns线性相关。求教刘老师。。。

Answer 1

如果它有非0公共解，一个前提就是t=s，否则你矩阵乘法就根本不可能成立
如果满足这个条件，设公共解是x，则有
(r1,r2,...,rt)x = (n1,n2,...,nt)x =0
所以
r1 x1 +r2 x2 +...+rt xt + n1 x1 +n2 x2 +...+nt xt =0，其中x1,...,xt是x的t个分量
根据线性相关定义，他们线性相关（存在一组非零常数让他们组合起来等于0）

Answer 2

为什么不能同问了？
感觉充分性有问题，举个例子A=(r1,r2), B=(-r1)。只要r1，r2≠0，可以r1，r2线性无关，比如取单位向量（1,0)，（0,1)。(r1，r2，-r1)线性相关。