已知函数f（x）=xLnx求f（x）的最小值

Question

若对所有x≥1都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围

Answer 1

解：
(1)对函数f(x)=xlnx求导得：
f'(x)=lnx+1
令lnx+1=0,x=1/e
当x>1/e时,f'(x)>0
当0<x<1/e时,f'(x)<0
所以f(x)先减后增，最小值为f(1/e)=-1/e

(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1
则a≤[f(x)+1]/x,
则a≤[f(x)+1]/x的最小值
以下求[f(x)+1]/x的最小值
令g(x)=[f(x)+1]/x=(xlnx+1)/x=lnx+1/x
求导得g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
令(x-1)/x^2=0,则x=1
当x>1时，g'(x)>0，即g(x)在x≥1时单调递增，最小值为g(1)=1
所以a≤1

Answer 2

f'(x)=lnx+1
令f'(x)=0得lnx=-1,x=1/e
∴0<x<1/e,f'(x)<0,f(x0递减
x>1/e,f'(x)>0,f(x0递增
∴f(x)min=f(1/e)=-1/e
(2)
有x≥1都有f（x）≥ax－1
即xlnx≥ax-1
即a≤1/x+lnx
设g(x)=1/x+lnx
那么需a≤g(x)min即可
g'(x)=-1/x²+1/x=(x-1)/x²
∵x≥1∴g'(x)≥0恒成立
∴g(x)为增函数
∴g(x)min=g(1)=1
∴a≤1

Answer 3

f(x)=xlnx
则：
f'(x)=lnx＋1，其中x>0
则：当0<x<1/e时，f'(x)<0；当x>1/e时，f'(x)>0
则：f(x)的最小值是f(1/e)=－1/e

当x≥1时，f(x)≥ax－1，则：
a≤[f(x)＋1]/(x)
设：F(x)=[f(x)＋1]/(x)
则：
F'(x)=[x(lnx＋1)－xlnx－1]/(x²)
F'(x)=[(x－1)(lnx＋1)]/(x²)
则：F(x)在(0，1/e)上递增，在(1/e，1)上递减，在(1，＋∞)上递增
则函数F(x)在x≥1时的最小值是F(1)=]f(1)＋1]=1
则：a≤1

Answer 4

第一问：有题意知，f(x)的定义域为x>0。对f(x)求导得f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得x=1/e，所以f(x)在0<x<1/e单独递减，在1/e≤x<正无穷大为单调增函数，所以最小值在x=1/e时取得，带入函数fmin(x)=f(1/e)=(1/e)ln(1/e)=-(1/e)lne.
第二问：带入函数xlnx≥ax－1,令g(x)=xlnx-ax+1,则g'(x)=lnx+1-a=0,则x=e^(a-1)时，g(x)取最小值，则最小值大于或等于0，即达到题意要求，带入x=e^(a-1)到g(x)=(a-1)*e^(a-1)-a*e^(a-1)+1≥0,解得a≤1.

Answer 5

求导可得
f'(x)=lnx+1,(x>0)
令f'(x)>0可得x>1/e
令f'(x)<0可得0<x<1/e
∴当x=1/e时f(x)取得最小值-1/e
若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1则a≤[f(x)+1]/x
则a≤[f(x)+1]/x的最小值
以下求[f(x)+1]/x的最小值
令g(x)=[f(x)+1]/x=(xlnx+1)/x=lnx+1/x
求导得g'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²
令(x-1)/x²=0,则x=1
当x>1时g'(x)>0即g(x)在x≥1时单调递增，最小值为g(1)=1
所以a≤1