矩阵a的多项式与矩阵a有相同的特征向量吗

Question

如题所述

Answer 1

矩阵a的多项式与矩阵a没有相同的特征向量。

矩阵A和他的相似矩阵的有相同的特征值，并没有相同的特征向量，相似矩阵定义：设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^（-1）AP=B，则称B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似。若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。

定理

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值。

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量。

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。