已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x)，且函数y=f(...

Question

已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x)，且函数y=f(x-1)为奇函数，给出以下四个命题: ①函数f(x)是周期函数; ②函数f(x)的图象关于点(-1，0)对称; ③函数f(x)为R上的偶函数; ④函数f(x)为R上的单调函数. 其中真命题的序号为①②③①②③.

Answer 1

解答:解:对于①:∵f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
∴函数f(x)是周期函数且其周期为4.①对
对于②:∵y=f(x-1)是奇函数
∴其图象关于原点对称
又∵函数f(x)的图象是由y=f(x-1)向左平移1个单位长度得到.
∴函数f(x)的图象关于点(-1，0)对称，故②对.
对于③:由②知，对于任意的x∈R，都有f(-1-x)=-f(-1+x)，
即f(-1-x)+f(-1+x)=0
用x替换-1+x，可得:f(-2-x)+f(x)=0
∴f(-2-x)=-f(x)=f(x+2)对于任意的x∈R都成立.
令t=2+x，则f(-t)=f(t)，
∴函数f(x)是偶函数，③对.
对于④:∵偶函数的图象关于y轴对称，
∴f(x)在R上不是单调函数，④不对.
故答案为:①②③