高数。证明不等式。这题怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

Let f(x)=sinx/x
则f'(x)=(xcosx-sinx)/x²

令g(x)=xcosx-sinx
则g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx
显然，在(0,π/2)上，g'(x)<0
故g(x)在(0,π/2)上单调递减，
故g(x)<g(0)，即g(x)<0
所以f'(x)=g(x)/x²<0
故f(x)在(0,π/2)上单调递减，
lim[x→0]f(x)=lim[x→0]sinx/x=1
f(π/2)=2/π
所以2/π<sinx/x<1
即2x/π<sinx<x
得证