离散数学:利用谓词推理理论来检验下述推理的有效性.

Question

有些学生相信所有的教师；任何学生都不相信骗子；所以老师都不是骗子。
要求：（1）将上述自然语言写成谓词公式； （2）运用推理理论证明推理的有效性

Answer 1

谓词公式为：
设M(x):x是学生,Q(x):x是老师, R(x):x是骗子, S(x,y):x相信y
前提：∃x(M(x) ∧∀y(Q(y)→S(x,y))), ∀x(M(x)→∀y(R(y)→┐S(x,y)))
结论；∀x(Q(x)→┐R(x))

证明；
(1) ∃x(M(x) ∧∀y(Q(y)→S(x,y))) P
(2) M(a) ∧∀y(Q(y)→S(a,y) ) ES(1)
(3) M(a)→∀y(R(y)→┐S(a,y)) US(2)
(4) M(a) 　　　　 T(2)I
(5) ∀y(R(y)→┐S(a,y)) 　T(3)(4)I
(6) ∀y(Q(y)→S(a,y)) 　　T(1)I
(7) R(b)→┐S(a,b) 　　 US(5)
(8) Q(b)→S(a,b) 　　US(6)
(9) S(a,b) →┐R(b) 　T(7)E
(10) Q(b)→┐R(b) 　　T(8)(9)I
(11) ∀x( Q(x)→┐R(x)) 　　 UG(10)

Answer 2

谓词公式为：
设M(x):x是学生,Q(x):x是老师, R(x):x是骗子, S(x,y):x相信y
前提：∃x(M(x) ∧∀y(Q(y)→S(x,y))), ∀x(M(x)→∀y(R(y)→┐S(x,y)))
结论；∀x(Q(x)→┐R(x))

证明；
(1) ∃x(M(x) ∧∀y(Q(y)→S(x,y))) P
(2) M(a) ∧∀y(Q(y)→S(a,y) ) ES(1)
(3) M(a)→∀y(R(y)→┐S(a,y)) US(2)
(4) M(a) 　　　　 T(2)I
(5) ∀y(R(y)→┐S(a,y)) 　T(3)(4)I
(6) ∀y(Q(y)→S(a,y)) 　　T(1)I
(7) R(b)→┐S(a,b) 　　 US(5)
(8) Q(b)→S(a,b) 　　US(6)
(9) S(a,b) →┐R(b) 　T(7)E
(10) Q(b)→┐R(b) 　　T(8)(9)I
(11) ∀x( Q(x)→┐R(x)) 　　 UG(10)