定积分的问题，有几个疑惑

Question

比如F（x）=积分号 上限a 下限b f(t)dt 疑问是，在不定积分中，dt=d（t+C）C为任意实数。 在定积分中同样适用吗？ 不用更改上下限吗？ 还有， 若是给 dt中的t乘除任意数， （除了0） 要更改上下限吗？ 这就相当于替换吗？ 如果更改了上下限，是不是就不用在积分号前作处理了？ 比如 dt 变为 d-t ，在不定积分中，这样变形后需要在积分号前加负号，定积分中是不是必须要变上下限了？ 如果说相当于替换的话，那么dt 变为 d（t+c）也是替换吗？也要变上下限吗？ 叙述的很不清楚，，凑活下哈，谢谢了！

Answer 1

在定积分中，如果你仍然把t看作是积分变量的话，那就不用更改上下限，
对d(t+C)积分得到原函数为F(t+C)以后，就把t的上下限代入就可以了，
同理，
如果是对d(f(t))进行积分得到F[f(t)]+C，直接代入t的上下限即可
添加负号也是同样的道理

而如果是在变换之后令t+C=a，
即d(t+C)=da，
那么就需要更改上下限，
如t的上下限分别是c1和c2，
那么a的上下限就分别是c1+C和c2+C

Answer 2

1. 不用更改上下限
如果：F(t)=∫a,b f(t)dt，对于∫a,b f(t)d(t+c) = ∫a,b f(t)dt = F(t)，这应该不属于换元，换元是三个地方（区间、函数变量、积分变量 ）都要变，这属于定积分的性质 。
如果令u+c=t，那么∫a,b f(t)dt = ∫a-c,b-c f(u+c)d(u+c)，这才叫换元（三个地方都改变）。
2. ∫a,b f(t)dt = (1/k)∫a,b f(t)d(kt)，这也属于定积分的性质，而换元是令u=t/k，则∫a,b f(t)dt = ∫a/k,b/k f(uk)d(uk)。（记住“三变”）
请区分定积分的性质和换元法…