不同特征值的特征向量正交，也就是两个不同特征值对应的特征向量相乘等于0，比如你有两个已知特征向量，那么可以列出两个方程从而确定第三个特征向量。
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，由此可设另一个特征值的特征向量为 (x1,x2,...)^T, 它与已知特征向量正交, 求出基础解系即可。
一般情况下, 解出的基础解系所含向量的个数必须是另一个特征值的重数k，因为实对称矩阵k重特征值必有k个线性无关的特征向量，而与已知向量正交的线性无关的向量又恰好有k个，这样才知道基础解系中向量都是另一个特征值的特征向量。
扩展资料：
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
1、(A')'=A
2、(A+B)'=A'+B'
3、(kA)'=kA'(k为实数)
4、(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。
参考资料来源：百度百科-对称矩阵
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，由此可设另一个特征值的特征向量为 (x1,x2,...)^T, 它与已知特征向量正交, 求出基础解系即可。
一般情况下, 解出的基础解系所含向量的个数必须是另一个特征值的重数k，因为实对称矩阵k重特征值必有k个线性无关的特征向量，而与已知向量正交的线性无关的向量又恰好有k个，这样才知道基础解系中向量都是另一个特征值的特征向量。
扩展资料：
对称矩阵的基本性质
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
5.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：
6.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
7.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
8.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
9.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。
10.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
参考资料来源：百度百科--对称矩阵