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求证一道线性代数证明题
设A是m*n矩阵且行满秩,B是n*(n-m) 且列满秩,且AB=O求证若η是齐次线性方程组AX=0的解,则存在唯一的ζ使Bζ=η 请详细一些
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推荐答案 2012-11-29
由已知, r(A)=m
所以 AX=0 的基础解系含 n-m 个向量.
因为 AB=0
所以B的列向量都是AX=0的解
又因为B列满秩, r(B)=n-m
所以B的列向量构成AX=0的基础解系
所以AX=0的解η可由B的列向量组唯一线性表示
即BX=η有唯一解ζ.
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其他回答
第1个回答 2012-11-29
这个题不难
首先由AB=0,η是AX=0的解,那么η是B的列向量张成空间的一个向量,又由B列满秩,那么η由B的列向量组表出唯一,即存在唯一的ki,i=1,2,…,(n-m)使得η=k1B1+k2B2+…+k〔n-m〕B〔n-m〕,(Bi,i=1,2,…,(n-m)为B的列向量),令ζ=(k1,k2,…,k〔n-m〕)∧T.即η=Bζ从而得证
第2个回答 2012-11-29
由A是行满秩且m<n知,Ax=0的基础解系是n-m维的。
又AB=0,知B的每一列都是Ax=0的解。
又知B列满秩,所以B的列构成Ax=0的基础解系。
所以Ax=0的任意一解都可以表达为B的列的线性组合,所以对Ax=0的解η,一定存在ζ使Bζ=η 。
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证明一道线性代数题
。如图
答:
证明
:∵当k为正整数时,有E^k=E,∴当k=1时,显然有A+E=E+(2^1-1)A。当k=2时,(A+E)²=A²+2AE+E²=E+3A=E+(2²-1)A,∴k=2时,等式成立。假设k=n时,有(A+E)^n=E+(2^n-1)A。∴k=n+1时,(A+E)^(n+1)=[E+(2^n-1)A](A+E)...
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