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    （2011?清远）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．

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    推荐答案   2015-01-02
    （1）∵抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，-3），
    ∴-3=1+k，
    ∴k=-4，
    ∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-4，
    ∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；

    （2）存在．
    连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
    当y=0时，（x+1）2-4=0，
    解得：x=-3或x=1，
    ∵A在B的左侧，
    ∴A（-3，0），B（1，0），
    设直线AC的解析式为：y=kx+b，
    ∴
    ?3k+b＝0
    b＝?3
    ，
    解得：
    k＝?1
    b＝?3
    ，
    ∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
    当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
    ∴点P的坐标为：（-1，-2）；

    （3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
    ∴-3＜x＜0；
    ①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
    ∵AB=4，
    ∴S△AMB=
    1
    2
    ×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，
    ∵点M在第三象限，
    ∴S△AMB=8-2（x+1）2，
    ∴当x=-1时，
    即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；

    ②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
    过点M作MD⊥AB于D，
    S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=
    1
    2
    ×3×1+
    1
    2
    ×（3+x）×[4-（x+1）2]+
    1
    2
    ×（-x）×[3+4-（x+1）2]
    =-
    3
    2
    （x2+3x-4）=-
    3
    2
    （x+
    3
    2
    ）2+
    75
    8
    ，
    ∴当x=-
    3
    2
    时，y=（-
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