高数 积分题 求解！

Question

如题所述

Answer 1

解：
原积分
=∫(x+sinx)/2cos²(x/2) dx
=∫(1/2)·(x+sinx)·sec²(x/2) dx
=∫(x+sinx) d[tan(x/2)]
=(x+sinx)·[tan(x/2)] - ∫[tan(x/2)]d(x+sinx)
=(x+sinx)·[tan(x/2)] - ∫[tan(x/2)](1+cosx)dx
=(x+sinx)·[tan(x/2)] - ∫[tan(x/2)]·2cos²(x/2) dx
=(x+sinx)·[tan(x/2)] - ∫2sin(x/2)cos(x/2)dx
=(x+sinx)·[tan(x/2)] - ∫sinxdx
=(x+sinx)·[tan(x/2)] + cosx +C'
=x[tan(x/2)]+2sin²(x/2)+cosx+C'
=x[tan(x/2)]+C

本题主要用了公式：
1+cosx=2cos²(x/2)=2-2sin²(x/2)