设f(z)在0<|z-a|<r内解析 且f(z)在z=a处连续,证明f(z)在圆|z-a|<R内解析

Question

如题所述

Answer 1

若f(z0) ≠ 0, 则|f(z0)| > 0. 由f(z)在|z-z0| < R内解析, f(z)在z0的一个邻域内连续. 因此存在r > 0, 使|z-z0| < r时|f(z)-f(z0)| < |f(z0)|/2. 于是|f(z)| ≥ |f(z0)|-|f(z0)-f(z)| > |f(z0)|/2 > 0. 即f(z)在|z-z0| < r内没有零点. 若f(z0) = 0。