定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所

Question

定义在R上的函数f（x）满足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）为f（x）的导函数，已知y=f′（x）的图象如图所示，且f′（x）有且只有一个零点，若非负实数a，b满足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，则 b+2 a+1 的取值范围是（　　） A． [ 4 5 ，3] B． (0， 4 5 ]∪[3，+∞) C． [ 4 5 ，5] D． (0， 4 5 ]∪[5，+∞)

Answer 1

由y=f′（x）图象可知，当x=0时，f′（x）=0， 当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 又∵a，b为非负实数， ∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3， 同理可得-2≤-a-2b≤0，即0≤a+2b≤2， 作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域， 得到如图的阴影部分区域， 解之得A（0，1）和B（1.5，0） 而等于可行域内的点与P（-1，-2）连线的斜率， 结合图形可知：k PB 是最小值，k PA 是最大值， 由斜率公式可得：k PA = 1+2 0+1 =3，k PB = 0+2 1.5+1 = 4 5 ， 故 b+2 a+1 的取值范围为[ 4 5 ，3] 故选：A