设函数y=f（x）是x=φ（y）的反函数，且f（2）=4,f'（2）=3,f'（4）=1,则φ（4

Question

设函数y=f（x）是x=φ（y）的反函数，且f（2）=4,f'（2）=3,f'（4）=1,则φ（4）=？求高数大神给过程啊

Answer 1

函数y=f（x）是x=φ（y）的反函数

原函数与其反函数图像关于y=x对称
f(2)=4,那么f(x)图像过(2,4)点，
那么y=φ(x)过(4,2)点

即φ（4）=2
另外，根据图像的对称性，
曲线y=f(x)在点P(a,b)处的切线与
曲线y=φ(x)在点P'(b,a)处的切线也关于
直线y=x对称，
∵f'(2)=3 ∴φ'(4)=1/3追问

额，我打错了，是求φ'（4）的值

追答

曲线y=f(x)在点P(a,b)处的切线与
曲线y=φ(x)在点P'(b,a)处的切线也关于直线y=x对称，
那么这两条切线的倾斜角互余。
即α+β=π/2
φ'(4)=tanβ=cotα=1/f'(2)=1/3

Answer 2

追问

额，我打错了，是求φ'（4）的值

追答

不会