矩阵的特征多项式和矩阵多项式有什么区别？

Question

如题所述

Answer 1

1、含义不同

λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；

|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根,即为A的全部特征值。对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1，&2，&3...&s，则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全为零）。

2、定理不同

若A的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。

设A是n阶矩阵，是特征矩阵的n-1阶行列式因子，则A的最小多项式为——n阶不变因子。

3、性质不同

矩阵A的最小多项式是唯一的。

多项式矩阵称为与等价，若经过有限次初等变换能变为B(λ)，记为A(λ)≌B(λ)，亦具有自反性，对称性，传递性。

参考资料来源：百度百科——特征多项式

参考资料来源：百度百科——矩阵多项式

Answer 2

矩阵的特征多项式是用于求解矩阵的特征值和特征向量的多项式，它的一般形式为f(λ)=∣λE-A∣，其中E为单位矩阵，λ为未知数，A为给定的矩阵。通过求解特征多项式的根，可以得到矩阵的特征值，然后通过求解齐次方程组(A-λE)x=0，可以得到对应于特征值的特征向量。特征多项式在矩阵理论、数值分析和控制理论等领域有广泛应用。
而矩阵多项式是指由矩阵变量和标量变量构成的代数式，其中代数式的系数、变量和运算都必须是矩阵。矩阵多项式可以表示为P(A)=a0E+a1A+a2A^2+…+anA^n的形式，其中A是矩阵变量，E为单位矩阵，a0,a1,…,an是标量系数。矩阵多项式在矩阵计算、数值分析和线性控制系统等领域有广泛应用。