如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
如图,等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N,且满足MN2=BN2+AM2,将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后,点M、N的对应点分别为T、S.
(2)求∠MCN的度数.
考点:作图-旋转变换;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理.
专题:综合题.
分析:(1)根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点,顺次连接即可得出旋转后的图形,根据MN2=BN2+AM2,可证得MS=MN,从而利用SSS可证得结论.
(2)根据旋转角为90°,再由(1)的结论即可得出答案.
证明:由旋转的性质可得:CS=CN,AS=BN,
又∵MN2=BN2+AM2,
∴MN2=AS2+AM2=MS2,
∴MS=MN,
又∵CS=CN,CM=CM,
∴△MCN≌△MCS(SSS).
(2)由(1)得:△MCN≌△MCS,
∴∠NCM=∠MCS=45°.
点评:本题考查旋转作图及三角形全等的证明,难度较大,关键是掌握旋转前后线段的长度,角的度数均不变.