1.设A为4阶实对称矩阵,且A^2+A = O,若A的秩为3,求A的特征值。
2.线性方程组Ax=b有两个不同的解,这一条件为什么能推出A的秩为2呢?
(我只知道方程组Ax=b有两个不同的解,说明 lAl =0)
A^2+A = O,则f(x)=x^2+x是矩阵A的一个化零多项式。就是这里不太懂
追答这样的,我写的内容可能有点超范围了,这是《矩阵论》的定理,《线性代数》可能没有。。。
但是记结论很简单,就是把A^2+A=O,里面的A换成x,变成一个多项式,就叫化零多项式。顾名思义就是把A代入这个多项式会得到零矩阵!!
于是A的特征值只能是这个多项式的根,但是注意,根不一定都是A特征值,比如此处:根是0,-1,那A的特征值可能是全0,可能是全-1,也可能都有,就要靠后面的秩来加以判断。
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证明的话,还是先不说了,严格证明起来,有很多超过《线性代数》的内容。
但是这个结论我记得本科的时候就一直当默认的在用,是可以的。真正理解的确是到了研究生阶段学了《矩阵论》才懂的。
啊,研究生就是和本科生有差别啊!
你在线吗?如果在线,我hi你,方便一点
追答在呢
追问"lry31383”这个号停用了吧?对它,我根本发不起消息
追答哈哈 不会的 我消息你
追问咦?莫反应呢
追答怎么会呢 你装HI了没?
追问装了的
追答别追问了 问一次扣你10分
因为 A^2+A = O
所以 A 的秩为 0 或1.
又因为 r(A)=3, A为实对称矩阵
所以 A 的特征值为 1,1,1,0.
唉 竟然把^2 +A看成 A的系数是2了
分倒是其次,为什么hi不起呢?头痛,你那边给我发消息是什么反应呢?我这边是什么反应都没有
追答我晕了
设 a 是A的特征值, 则 a^2+a 是 A^2+A 的特征值
而 A^2+A =0, 零矩阵的特征值只能是0
所以 a^2+a =0
所以 a(a+1)=0
所以 A 的秩为 0 或-1.
又因为 r(A)=3, A为实对称矩阵
所以 A 的特征值为 -1,-1,-1,0.