AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵：
|AB O|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有：
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有：
|0 A |
|-B En|
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)。
解线性方程组
记线性方程组的系数矩阵为A,增广矩阵为B= (A,b)，则：
()R(A)= R(B)= n,方程组有惟一解;
(i)R(A)= R(B) < n,方程组有无穷解;
(i)R(A) < R(B)，方程组无解。
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
特别规定零矩阵的秩为零。
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。
显然rA≤min(m，n) 易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m，n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵， det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。
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|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
扩展资料
矩阵的秩以r表示，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。
只有零矩阵有秩 0 A的秩最大为 min(m,n) f是单射，当且仅当 A有秩 n（在这种情况下，我们称 A有“满列秩”）。f是满射，当且仅当 A有秩 m（在这种情况下，我们称 A有“满行秩”）。在方块矩阵A（就是 m= n) 的情况下，则 A是可逆的，当且仅当 A有秩 n（也就是 A有满秩）。如果 B是任何 n× k矩阵，则 AB的秩最大为 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A）
参考资料百度百科-秩
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扩展资料
矩阵的秩以r表示，在线性代数中，一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目
|AB O|
|O En|
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有
|AB A|
|0 En|
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)
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