第1个回答 2012-02-05
解:(1)连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.(∠1=∠EAB,.∠2=∠ABE)
∵AB=AC,
∴∠1= 1/2∠CAB.
∵∠CBF= 1/2∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)过点C作CG⊥AB于点G.
∵sin∠CBF= √5/5,∠1=∠CBF,
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB•sin∠1= √5,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2 √5,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=2√ 5,
∴sin∠2= 2√5/5,cos∠2= √5/5,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3
第3个回答 2012-12-31
证明:
连AD,交OP于点Q
(1)∵以AB为直径的圆O交BC于点D
∴∠ADB=90º,即AD⊥BC
∵AB=AC,∠A=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°;AD是等腰三角形底边上的高,AD也是BC的中线,即BD=CD
(2)∵以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E
∴∠ABC+∠AED=180º,∠CED+∠AED=180º
∴∠ABC=∠CED
∴∠CDE=180º-∠CED-∠ACB=180º-75º-75º=30º
∵BP∥DE
∴∠CBP=∠CDE=30º
∴∠OBP=∠ABC-∠CBP=75º-30º=45º
∵OB=OP
∴∠OPB=45º
∴∠BOP=180º-∠OBP-∠OPB=180º-45º-45º=90º
(3)∵AD是等腰三角形底边上的高,AD也是角平分线,即∠BAD=∠CAD
∵∠A=30°,∠BOP=90º
∴∠PAQ=30º=∠CBP ①
∵∠BOP=90º,OA=OB
∴PA=PA ②
∵AQ=OA/cos∠A/2=AB/(2cos15º),BC=2BD=2ABsin∠A/2=2ABsin15º
∵2sin15º*2cos15º=2sin30º=1即2sin15º=1/(2cos15º)
∴AQ=BC ③
∴由①②③得△PAQ≌△PBC
∴∠BPC=∠APQ=45º
∴∠OPC=∠OPB+∠BPC=45º+45º=90º
∴CP是圆O的切线