【概率论】X1，X2,X3...X9来自正态总体x的随机样本

Question

X1，X2,X3...X9来自正态总体x的随机样本
Y1=1/6(X1+...+X6)
Y2=1/3(X7+X8+X9)
S^2=1/2∑（Xi-Y2）^2 (i=1 到9）
Z=[√2*(Y1-Y2)]/s证明z服从自由度为2的t分布

Answer 1

这个i是不是7到9啊？？？

因为X1到X9~N(0,1)
所以Y1=1/6(X1+...+X6)~N(0,1/6)这个知道吧就是1/n∑xi~N(μ,σ^2/n)
Y2~N(0,1/3)推出√2*(Y1-Y2)]~N(0,(√2)^2*(1/3+1/6))~N(0,1)这是分子
对于分母有公式2S^2=∑（Xi-Y2）^2(i=7到9)~χ^2(2)这是卡方分布
所以满足t分布的形式追问

就是1到9 另外x1-x9 只是说来自正太分布并没有说是标准正态分布

追答

哦 这样啊~~~~~我改下
因为X1到X9~N(μ,σ^2)
所以Y1=1/6(X1+...+X6)~N(u,σ^2/6)这个知道吧就是1/n∑xi~N(μ,σ^2/n)
Y2~N(μ,σ^2/3)推出√2*(Y1-Y2)]~N(μ-μ,(√2)^2*(σ^2/3+σ^2/6))~N(0,σ^2)这是分子
对于分母有公式2S^2/σ^2=∑（Xi-Y2）^2/σ^2(i=7到9)~χ^2(2)这是卡方分布
整理一下，分子是√2*(Y1-Y2)~N(0,σ^2)推出√2*(Y1-Y2)/σ~N(0,1)
而分母是S=√S^2=√((σ^2*χ^2)/2)=σ√((χ^2)/2)即S/σ=√((χ^2)/2)
分子分母相除即(√2*(Y1-Y2)/σ)/(S/σ)会约掉σ，也就是题目要求的Z
z的分子为N(0,1)分母为√((χ^2)/2)
满足t分布的形式