若可导函数f(x)是奇函数，求证：其导函数是偶函数

Question

如题所述

Answer 1

奇函数
f(-x)=-f(x)求导
-f'(-x)=-f'(x)
所以
导数是偶函数

Answer 2

正确答案：任取x∈(－ll)则有fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ若f(x)为偶函数则f(－x)＝f(x)故
fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－fˊ(x)即fˊ(x)为奇函数；
若f(x)为奇函数则
f(－x)＝－f(x)
故
fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－[f(－x)]ˊ＝fˊ(x)即fˊ(x)为偶函数．
任取x∈(－l,l),则有fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ,若f(x)为偶函数则f(－x)＝f(x),故fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－fˊ(x),即fˊ(x)为奇函数；若f(x)为奇函数则f(－x)＝－f(x),故fˊ(－x)＝－[f(－x)]ˊ＝－[f(－x)]ˊ＝fˊ(x),即fˊ(x)为偶函数．

Answer 3

证明：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。两边取导数则：（f(-x)）'=（-f(x)）'
所以f'(-x)(-x)'=-f'(x)即：
-f'(-x)=-f'(x)
所以f'(-x)=f'(x)
所以f'(x)是偶函数。