若函数f(x)在其定义域(0,+∞)上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集是？

Question

若函数f(x)在其定义域(0,+∞)上为增函数，f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集是？

求详解。 谢谢！

Answer 1

f(2) = f(1*2) = f(1) + f(2)
f(1) = 0
f(4) = f(2*2) = f(2) + f(2) = 1 + 1 = 2
f(x)在其定义域(0,+∞)上为增函数, x=4时，f(x) + f(x-3) = f(4) + f(1) = 2 + 0 = 2
所以f(x)+f(x-3)≤2，x≤4， 要使f(x)和f(x-3)都有定义，x-3>0, x>3
解为3<x≤4

Answer 2

f(1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=0 2=f(2)+f(2)=f(4) 又因为是增函数，所以x乘（x-3)≤4,所以4≤x＞o

Answer 3

2=1+1=f(2)+f(2)=f(2×2)=f(4)，f(x)+f(x-3)=f(x（x-3））。f(x)+f(x-3)≤2即为f(x（x-3））≤f(4)，又函数f(x)在其定义域(0,+∞)上为增函数，所以x>0；x-3>0；x（x-3）≤4同时满足。解得3<x≤4。

Answer 4

解 因为f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数 f(2)=1 f(xy)=f(x)+f(y)
所以f(2)+f(2)=f(2*2)=f(4)=2
要求：f(x)+f(x-3)<=2 即f(x(x-3))<=2 f
因为f(x)在其定义域(0,+∞)上为增函数 f(4)=2
所以 0<x(x-3)<=4 解得： -1=<x<0 或 3<x<=4
不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集是﹛ x/-1=<x<0 u 3<x<=4﹜

Answer 5

f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)，
∴f(4)=f(2)+f(2)=2,
函数f(x)在其定义域(0,+∞)上为增函数,
∴不等式f(x)+f(x-3)≤2化为
{x>0,x-3>0,x(x-3)<=4},
{x>3,x^2-3x-4<=0},
∴3<x<=4.

Answer 6

f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]
又因f(x)是增函数，则f[x(x-3)]也是增函数
f(2)=1 则2f(2)=2
f[x(x-3)]<=2
即f[x(x-3)]<=2f(2)
x(x-3)<=2
求得 -2<=x<=1
100%正确