已知整数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA<k^2

Question

如题所述

Answer 1

解:2aB+2bC+2cA≤(a^2+B^2)/2+(b^2+C^2)/2+(c^2+A^2)/2（等号当且仅当a=b=c=A=B=C时成立）
=(a^2+A^2)/2+(b^2+B^2)/2+(c^2+C^2)/2＜(a+A)^2/2+(b+B)^2/2+(c+C)^2/2=3k^2/2＜4k^2/2=2k^2
∴2（aB+bC+cA）＜2k^2 ∴aB+bC+cA＜k^2追问

这个方法我是会的，不知道还有没有其他解法？其实构造一个正方形也是可以的……

追答

好吧，我想说一下昨天为了抢分是复制粘贴，原证明是错的，第一步就错了。下面给出我的证明
k^2=（B+b）*k=Bk+bk=B(A+a)+b(C+c)
=aB+bC+bc+AB
当A>c,bc+AB>bc+Bc=(b+B)c>Ac
当AbA+BA=A(b+B)>Ac
所以k^2=aB+bC+bc+AB>aB+bC+Ac
命题得证

Answer 2

（a+A）^2+(b+B)^2+(c+C)=3k^2
展开左边 得 2（aA+bB+cC)+A^2+B^2+C^2+a^2+b^2+c^2=3k^2
所以 aA+bB+cC≤3/2k^2
即 aB+bC+cA<k^2追问

第三行道第四行怎么来的？好像不怎自然……