你好！
先考查 f(x)=k的解的情况。
结果是：
k<0时，无解（0个解）；
k=0时，三个解；
0<k<2时，六个解；
k=2时，四个解；
k>2时，二个解。
要满足条件，则 方程 at^2+bt+c=0得有两个不同的解t1和t2，
且f(x)=t1和f(x)=t2的解：1）各有四个不同的解；2）一个方程有六个解，另一个方程有两个解。
由于f(x)=t1和f(x)=t2都有四个解时，则t1=t2=2，所以八个解两两相等，不满足。
因此，要得到八个不同的解，则 at^2+bt+c=0有两个不同的解t1和t2，
且0<t1<2，t2>2。
所以，由二次函数的性质，得（设g(t)=at^2+bt+c）
1）a>0，则 g(0)>0，且g(2)<0，解得 a>0且c>0且4a+2b+c<0；
或2）a<0，则 g(0)<0，g(2)>0，解得 a<0且c<0且4a+2b+c>0。
将以上两个条件合并，简化为： c≠0 且 a(4a+2b+c)<0，这就是所要求的充要条件。
(或者也可简化为：ac>0且4a+2b+c≠0； 或者：a≠0，c(4a+2b+c)<0。）来自：求助得到的回答
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