已知函数f(x)=|x|/e^x，若关于的方程f^2(x)-tf(x)+t-1=0恰好有4个不相等

Question

已知函数f(x)=|x|/e^x，若关于的方程f^2(x)-tf(x)+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为

Answer 1

当 x<0 æ—¶ï¼Œf(x)= -x/e^x ä¸ºå‡å‡½æ•°ï¼›å½“ x=0 æ—¶ f(0)=0 ï¼›

当 x>0 æ—¶ï¼Œf(x)=x/e^x ï¼Œf '(x)=(1-x) / e^x ï¼Œ

可以看出，当 0<x<1 æ—¶ f '(x)>0，当 x>1 æ—¶ f '(x)<0 ï¼Œ

因此函数在（0，1）上增，在（1，+∞）上减，

函数在 x=1 å¤„取极大值 f(1)=1/e ã€‚

综上可知，方程 f(x)=k çš„根的情况如下：

（1）当 k<0 æ—¶ æ— æ ¹ï¼›

（2）当 k=0 æ—¶æœ‰æƒŸä¸€å®žæ ¹ x=0 ï¼›

（3）当 0<k<1/e æ—¶æœ‰ä¸‰ä¸ªä¸åŒå®žæ ¹ï¼›

（4）当 k=1/e æ—¶æœ‰ä¸¤ä¸ªä¸åŒå®žæ ¹ï¼›

（5）当 k>1/e æ—¶æœ‰æƒŸä¸€å®žæ ¹ã€‚

要使关于 x çš„方程 k^2-tk+t-1=0 æœ‰å››ä¸ªä¸ç›¸ç­‰çš„实数根，只须

0<k1<1/e ï¼Œk2=0 æˆ– k2>1/e ï¼›

当 k=0 æ—¶ï¼Œt=1 ï¼Œæ­¤æ—¶æ–¹ç¨‹ k^2-k=0 çš„两根为 k1=1 ï¼Œk2=0 ï¼Œk1 ä¸æ»¡è¶³ 0<k1<1/e ï¼Œ

因此必有 0<k1<1/e<k2 ï¼Œ

令 g(k)=k^2-kt+t-1 ï¼Œå› æ­¤å¾— 

（1）g(0)=t-1>0 ï¼›

（2）g(1/e)=1/e^2-t/e+t-1<0 ï¼›

以上两式解得 1<t<(e+1)/e ã€‚

附：函数 f(x)=|x| / e^x 的图像 。

追问

大神啊