如何求一个点到抛物线的最短距离
嗯，今天做一道题时突然深入到的
不过能力有限
只能够联立为一个包含未知数的4次项、2次项、1次项就无法做了
我的问题是1、能不能直接求这种式子的最小值
2、或者有专门的公式。解题思路
最好能够用高中知识解决，毕竟我还只是个高中生，拓展太宽就得不偿失了
称该点为A，抛物线上的点为B，过B的切线与AB垂直。这样可以求出B，以及AB。
设有焦点为内：
1、如果顶点在抛物线外，则连接顶点和焦点，连线与抛物线相交的点就是最短的点了。
2、如果定点在抛物线内，则过定点作直线垂直于准线，直线与抛物线相交的点就是最短的点了。
简介
在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。
垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。
“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。
将抛物线在x=x0处的切线方程写出来，然后利用点到直线bai距离公式表示切线到点的距离，求最值。
例如求点(a，b)到抛物线y=x^2的最短距离：设切线y=kx+b，因为y`=2x，于是k=2x0，将(x0,x0^2)带入得2(x0)^2=2(x0)^2+b得b=-(x0)^2；
于是y=x^2在x=x0处切线方程为y=2x0x-(x0)^2，即2x0x-y-(x0)^2=0，则点(a,b)到y的距离为：d=|2ax0-b-(x0)^2|/[4(x0)^2+1]^(1/2)，接着等式两边同时平方，再对右边进行求导来求最值。
原点在抛物线上，离心率e均为1 ；对称轴为坐标轴；准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
扩展资料：
抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（准线）。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。
垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。
参考资料来源：百度百科-抛物线
本回答被网友采纳求A(-3,4)到抛物线y^2=2x上一点的最近距离；
设P(u.v)是抛物线上一点，
过P点的抛物线的切线PT:
y-v=k(x-u)
2y-2v=k(2x-2u)
2y-2v=k(y^2-2u)
ky^2-2y+(2v-2uk)=0
令判别式等于零；
4-4k(2v-2uk)=0
4=4k(2v-2uk)
1=k(2v-2uk)
2uk^2-2vk+1=0,
因为2u=v^2,所以，
v^2k-2vk+1=0
(vk-1)^2=0
vk=1
k=1/v,
切线与法线是垂直的，所以
(1/v)[(v-4)/(u+3)]= - 1
(v-4)+v(u+3)=0,再由u=v^2/2联立后解方程得出切点，本次要解一个一元三次方程；
随机的方程不一定好解；在设置题目时，三次方程总是能解出的；
剩下就是求两点的距离了；追问
感谢！！！
果然还是要找切线呐。
（1）用求“点到直线距离”建立方程
（2）根据抛物线的定义，即找抛物线的准线、焦点与该点之间的关系
毕竟有5、6年不碰高中题目了追问
点到直线距离？哪一条直线，准线或者某点的切线？
感觉略麻烦
应该是点到抛物线距离，说错了，再说对于你这个题目有很多种情况，该点在抛物线内部、外部，具体问题具体分析，用好抛物线的第二定义，结决这个问题也并不难
追问额，貌似抛物线没有第二定义？内部和外部我想思路或者方法应该是差不多的
追答难道你不知道：“到定点的距离等于到顶直线的距离里”这句话
追问这不是唯一定义？你记错还是我记错？
不过我估计是你的方法可能有问题，一般来说，解析几何是不用求导的
祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O追问
还没有学导数唉，刚刚学完圆锥曲线
不知道能不能只用解析几何做出来？
我估计你的方法可能选取的不好，才出现这种情况的，最好把题目贴上来~~
追问额，真不好意思
这个只是我课外想到的，想拓展一下
具体题目没有碰到过