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线性代数秩的证明题
设A是n*n矩阵
r(A)=n时,r(A*)=n
r(A)=n-1时,r(A*)=1
r(A)<n-1时,r(A*)=0
请问这个如何证明?
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推荐答案 2012-01-03
AA*=|A|E
1.å¦æ
r(A)=nï¼å|A|â 0
|A*|â 0
æ以
A*å¯éãr(A*)=n
2. r(A)=n-1æ¶
|A|=0ï¼æ以AA*=O
r(A)+r(A*)<=n
r(A*)<=1
èr(A)=n-1ï¼æ以
Aä¸å¿ æä¸ä¸ªn-1é¶åå¼â 0
æ以r(A*)>=1
æ以
r(A*)=1
3. r(A)<n-1ï¼æ以Açææn-1é¶åå¼é½çäº0
æ以
A*=O
å³r(A*)=0
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其他回答
第1个回答 2012-01-03
r(A) =n A可逆,A*亦可逆,所以R(A*)=n
r(A)<n-1 说明任何A的任何(n-1)阶代数余子式均为0,所以A*=0 r(A*)=0
r(A)=n-1 知道存在A的某个(n-1)阶代数余子式不为0,所以A*不为0,
所以r(A*)》=1
又AA*=0 所以r(A*)+r(A)<=n 所以r(A*)<=1 所以r(A*)=1
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