关于高中数学简单逻辑里充分必要条件判断的问题

Question

基本定理是：
有A则有B，则A是B的充分条件
无A则无B，则A是B的必要条件
可是我不太懂A->B的意思，
比如两个集合：P:{1,2} Q:{1,2,3}，那P是Q的什么条件？为什么能这么推？
另外我一直在用集合法判断充分必要条件的问题
比如P:a>3 Q:a>0 则P是Q子集，则P是Q充分不必要条件，这种方法屡试不爽
但是今天遇到个问题发现集合法不能用：
如：P:sina≠1/2 Q:a≠5π/6
答案是P是Q充分不必要条件
但Q是P的子集啊，为什么不是必要不充分条件？
有什么办法能够快速准确无误地判断两个条件之间关系呢？我经常栽这种题上
是不是集合({x,y,z})和不等式(a<x)的判断方法是相反的啊？

Answer 1

记住一句话：小范围推大范围，则为充分非必要条件。
对于P:{1,2} Q:{1,2,3}，
明显P范围小于Q范围，
所以 P是Q的充分非必要条件。

对于P:sina≠1/2 Q:a≠5π/6
假设a的范围是 [0，2π]
P的范围是a≠π/6 或者a≠5π/6
显然，P范围小于Q范围
所以P是Q充分不必要条件。

对于简单逻辑里充分必要条件判断，不能想当然的下决定，要仔细琢磨。
还是那句话 小范围推大范围，则为充分非必要条件。
这句话适用于各种判断充分必要条件，无论是集合({x,y,z})还是不等式(a<x)

Answer 2

P--->Q:P是Q的充分<==> Q是P的必要。

P,Q都是指命题，跟集合有区别
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A--->B的意思就是“如果命题A成立，则命题B成立”
如：P:sina≠1/2 Q:a≠5π/6中：
P:sina≠1/2 ----> Q:a≠5π/6
所以P是Q的充分；
Q:a≠5π/6 --/--> P:sina≠1/2 (原因是：a=5π/6+k*2π)
所以Q不是P的充分，即P不是Q的必要；
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集合法和命题推理还是有区别的，
比如说
P:a>3 Q:a>0 中，P是Q子集，显然P--->Q,看似是“子集->包含该子集的集合”
但是有时又有：“集合满足某条件，则其子集也必满足该条件”。这样就很容易混乱，所以不建议使用集合法。

Answer 3

充分条件、必要条件、充要条件都是反映了一个命题中的条件和结论之间的关系，遇到一个具体问题，首先要明确本题中条件和结论各是什么？如：在“P：sinα≠1/2是Q:α≠5π/6的什么条件”中，P是条件，Q是结论，然后再看，若P成立，Q是否成立；若Q成立，P是否成立？之后根据充分、必要条件定义得出结论。如果分辨不清的话，也可以用它的逆否命题来代替
（∵逆否命题和原命题是等价的），例如：
"sinα≠1/2→α≠5π/6"的逆否命题是“α=5π/6→sinα=1/2",你看这个逆否命题的成立是不是很容易判断？
再说，只有集合方面的命题，才能用集合的包含关系来判断，∴只有用充分、必要条件定义来判断，这种方法才是最可靠的。

Answer 4

前者能推出后者的就是充分条件，后者推出后者的就是必要条件。
其实就是包含与被包含关系，小的集合能推出大的集合，大的推不出小的（例如一个人在1班，他能说自己是1班的，但1班不能是他一个）。记住着两点就可以做了

参考资料：如果您的回答是从其他地方引用，请表明出处

Answer 5

楼主的集合法则是对的！！只是这条题P是Q的子集，而不是Q是P的子集。
楼上说得对啊，充分必要是条件关系，用集合法来看有局限性。比如：正弦定理和余弦定理就是等价条件，也就是说互为充分必要条件。
P-->Q的意思是：如果P成立，那么Q成立。例; P:a>3；Q：a>0。不从集合意思来讲，而从条件关系来讲就是：如果P成立（即如果a>3)，那么Q成立（即a>0)。这样，P就是Q的充分条件。