已知圆的方程求最值问题

Question

跪求，非常着急，快考试了！
已知圆的方程，求最值问题，能讲解我听懂就好，给高分！时间不是问题，我说个例题：若实数x,y满足x²＋y²=1,则（y-2）/（x-1）的最小值等于多少，答案：3/4,,,,,,并求讲解

Answer 1

答：

实数x和y满足：
x²+y²=1
设k=(y-2)/(x-1)
y-2=k(x-1)
kx-y-k+2=0
圆心到直线的距离：
d=|0-0-k+2|/√(k²+1)<=R=1
所以：
|2-k|<=√(k²+1)
两边平方：4-4k+k²<=k²+1
4k>=3
k>=3/4最小值为3/4追问

能说一下，此类题的做法么？

追答

一般来说，有几种方法：
1）设k=(y-2)/(x-1)
得出y=k(x-1)+2代入圆方程，
整理成关于x的方程，然后用判别式求出k的取值范围

2）得出y=k*(x-1)+2即kx-y-k+2=0
利用圆心到直线距离d<=R求出k的取值范围

3）设x=a+Rcost，y=b+Rsint
（a，b）是圆心，然后代入式子采用三角函数求解

一般来说，要看具体题目的情况选用比较合适的方法来处理
本题用2）比较方便

Answer 2

1.假设x-y=z
要求最值，也就是圆心与假设直线相切
所以：│-1-0-z│/√2=1/2
所以：z=√2/2-1或-√2/2-1
2.(x-1)^2+y^2=1，x^2+y^2也就是p点到原点的距离的平方
因为圆要过原点，所以最小值就是0，最大值就是直径的平方为4

Answer 3

这个题目思考如下：
以原点为圆心，1为半径画一个圆。那么（x，y）就是这个圆上的点。这个点和（1，2）的连线的斜率就是（y-2）/（x-1），那么最大值最小值就可以出来了，就是这条直线是圆的切线的适合，其中一条垂直x轴，为无穷大，是最大值，还有一条的斜率就是3/4.
画一下图画，这类题目都是那么做的

Answer 4

（y-2）/（x-1）表示园上一点(x,y)到点(1,2)的斜率，显然根据本题情景斜率最小的时候为点(1,2)与圆相切。相切的情形有两种，也就是有两个切点，这里取上面的切点，画画图

Answer 5

通法
把问题转化为圆上一点到（1,2）的斜率问题 ，画图来看一看，不难发现相切时，k最小。
求k 只需设直线，然后由圆心到直线等于1 得出k值追问

通法是什么？

追答

转化为求斜率即可

追问

谢谢你的答案，不过下面的更清楚