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    已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值点和极值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．（3）当a=34时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x），x∈[1，2]都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

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    推荐答案   推荐于2016-07-11
    （1）∵f′（x）=
    1
    x
    -a=
    1?ax
    x
    (x＞0)    ，
    ∴当a≤0时，f′（x）=
    1?ax
    x
    ＞0    ，即函数f（x）的增区间为（0，+∞），此时f（x）无极值点；
    当a＞0时，令f′（x）=
    1?ax
    x
    =0得，x=
    1
    a
    ＞0．列表如下：
    x （0，
    1
    a
    ）
    1
    a
    		 （
    1
    a
    ，+∞），
    f′（x） + 0 -
    f（x） 单调增 极大值 单调减
    由上表知：函数f（x）的极值点为x=
    1
    a
    ，且在该极值点处有极大值为f（
    1
    a
    ）=-lna-1．…（4分）
    （2）由（1）知：当a＞0时，函数f（x）的增区间为（0，
    1
    a
    ），减区间为（
    1
    a
    ，+∞）．
    ①若
    1
    a
    ≤1即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，所以（f（x））min=f（2）=ln2-2a，；
    ②若
    1
    a
    ≥2，即0＜a≤
    1
    2
    时，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，所以（f（x））min=f（1）=-a，；
    ③若1＜
    1
    a
    ＜2，即
    1
    2
    ＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，
    1
    a
    ）上为增函数，在区间（
    1
    a
    ，2）为减函数，
    又f（2）-f（1）=ln2-a，所以，当
    1
    2
    ＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
    当ln2≤a＜1时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
    综上可知：当0＜a＜ln2时，（f（x））min=f（1）=-a，；
    当a≥ln2时，（f（x））min=f（2）=ln2-2a，
    （3）当a=
    3
    4
    时，由（2）知函数f（x）在区间（1，
    4
    3
    ）上为增函数，在区间（
    4
    3
    ，2）为减函数，
    所以（f（x））min=f（
    4
    3
    ）=ln
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