矩阵问题 特征值和特征向量

Question

3 -1 1
2 0 1
1-1 2 的特征值 和特征向量

Answer 1

对于3阶方阵，可参考以下解三中的做法来求特征值。由于有举例，故此例不详算了。请谅解。

解一:
特征多项式f(t)=|t*E-A|=0

此即得关于t的一元三次方程.
求解三个t值即是.可能有重根.
或用-f(t)=|A-t*E|=0 也是一样的.

解二:
|A+t*E|=0
解此关于t的一元三次方程.
求解三个t值.可能有重根.
再取相反数即是所求.
这样在计算是方便一点点.

解三参考:
以下tr表示矩阵的迹(即主对角线元素之和); A*表示伴随阵; det表示行例式的值.
特征多项式f(t)=|t*E-A| 习惯上一般用λ.为了打字方便有时我用t.
如果A是1阶矩阵, 易见特征值就是A本身.
如果A是2阶矩阵, 特征多项式可以写为λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是3阶矩阵, 特征多项式可以写为λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中tr(A*)=各阶主子行列式之和.
如果A是4阶矩阵, 特征多项式可以写为λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A), 其中c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.

于是
A=
2 -1 2
5 -3 3
-1 0 -2
故
A=ttt-(2-3-2)tt+(6+-2+-1)t-(2*6-5*2+-1*3)=ttt+3tt+3t+1
很显然A=(t+1)^3,有三重根-1.
即矩阵有三重特征值 -1

用解三来做，举个例子，上面的题目未加详算，请谅解。
-A=
-2 1 -2
-5 3 -3
1 0 2

|tE-A|
=
det
t-2 1 -2
-5 t+3 -3
1 0 t+2
=
(t-2)*(t+3)(t+2)
-(-5)*(t+2)
+ 1*(1*(-3)-(-2)*(t+3))
=ttt+3tt+3t+1
=(t+1)^3
故原矩阵A 有一个三重特征值 t=-1

Answer 2

AX=λX，求出λ，其所对应的向量为特征向量