函数数学题

Question

1. 设函数f(x)=sin(2x+φ）（—π＜φ＜0），
y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=π/8，
①求φ
②求函数y=f(x)的单调增区间。

2.已知函数f(x)=sin(wx+φ) (w＞0，0≤φ≤x）是R上的偶函数，其图像关于点M（3/4π，0）对称，且在区间【0，π/2】上是单调函数，求φ与w的值。

3.若函数y=Asin(wx+φ）（A＞0，w＞0，丨φ丨＜π/2）的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过（0，√2），则函数解析式是什么？

4.已知函数f(x)=√3sin(2wx-π/3)+b,且该函数图像的对称中心到对称轴的最小距离为π/4，且当x∈【0，π/3】时，f(x）的最大值为1.
①求函数f(x)的解析式
②若f(x)-3≤m≤f(x)+3在【0，π/3】上恒成立，求m的范围。
打错了一个。第二题应该是已知函数f(x)=sin(wx+φ) (w＞0，0≤φ≤π）

Answer 1

第三题
∵函数y=Asin(wx+φ）的最大值为2
∴A=2
∵最高点与最低点横坐标之差为3π （这刚好是半个周期）
∴周期T=3π×2=6π ∴W=2π／6π=1/3
∵图像过（0，√2）
∴2sinφ=√2
∵丨φ丨＜π/2 ∴φ=π/4
∴函数解析式是y=2sin(x/3+π/4)

第二题
①∵函数图像的对称中心到对称轴的最小距离为π/4（距离刚好是1/4个周期）
∴T=π ∴W=2π/π =2(这个W不是题目中的w)
∴题目中的w=1
∵函数f(x)在【0，π/3】是增函数且当x∈【0，π/3】时，f(x）的最大值为1
∴当x=π/3时，f(x)=1即√3sin(2×π/3-π/3)+b=1
解得b=-1/2
∴函数的解析式是f(x)=√3sin(2x-π/3)-1/2

②∵f(x)-3≤m≤f(x)+3
∴√3sin(2x-π/3)-7/2≤m≤√3sin(2x-π/3)+5/2
由①知函数f(x)在【0，π/3】是增函数
∴当x=0时，-5≤m≤1
当x=π/3时，-2≤m≤4
∴m的范围是-2≤m≤1 （取他们的交集）

Answer 2

先解 第一题
sin(π/4+φ) = -1 , ( 等于1的情况经判断舍去）
φ = -3π/4
f(x)=sin(2x-3π/4）
单增区间为 2kπ - π/2 <2x-3π/4 < 2kπ + π/2
即 kπ + π/8 < 2x < kπ + 5π/8

再解 第二题 （ M点坐标 是不是写错了 ？ 应该是 3π/4 吧 ）

因为是 偶函数 所以 sin(φ)= 1 or -1 , 所以 φ= π/2
简化 函数 f(x)=cos(wx)
图像关于点M（3π/4，0）对称 ，所以 cos 3πw/4 =0
3πw/4 = 2kπ + or - π/2
w=8k/3 + or - 2/3
在区间【0，π/2】上是单调函数, π/w >= π/2 --->> 0<w<= 2
w=8k/3 + or - 2/3 ,
解得 w=2/3 或 2

Answer 3

1.(1):φ=(-3π)/4;(2):函数y=f(x)的单调增区间为：1/8π +kπ<=x<=5/2π+kπ;