如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，G为DF的中点．（1）求证：EF

Question

如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，G为DF的中点．（1）求证：EF⊥平面B1BDD1；（2）过A1、E、G三点平面交DD1于H，求证：EG∥MA1．

Answer 1

（1）因为E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，所以EF∥A₁C₁，
因为底面A₁B₁C₁D₁为菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，所以EF⊥B₁D₁．
因为直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又因为EF?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥EF．
又B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁?平面B₁BDD₁，
DD₁?平面B₁BDD₁，所以EF⊥平面B₁BDD₁．
（2）延长FE交D₁A₁的延长线于点H，连接DH，
因为E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，
所以△EFB₁≌△EHA₁，所以HE=EF，
在△FDH中，因为G、E分别为DF、HF的中点，
所以GE∥DH．
又GE?平面AA₁D₁D，DH?平面AA₁D₁D，
故EG∥平面AA₁D₁D．因为过A₁、E、G三点平面交DD₁于M，
所以面A₁MGE∩面AA₁D₁D=MA₁，EG?面A₁MGE，所以EG∥MA₁．