线性代数证明题

Question

证明: (1) 因为r(A)=1
所以 A 有一个非零列向量α, 且其余列向量都是α的倍数
(事实上,α是A的列向量组的一个极大无关组)
记α=(a1,a2,...,an)'
则 A = (b1α,b2α,...,bnα) 某个ki=1.
= α(b1,b2,...,bn)
记 β = (b1,b2,...,bn)'
则 A = αβ'.
(2)
所以 A^2 = (αβ')(αβ')=α(β'α)β'=(β'α)αβ'=(β'α)A.
令 k = β'α
则 A^2=kA.

注: β'α 是两个向量的内积, 是一个数.

Answer 1

（1）a是n 阶矩阵，秩为1，可知矩阵a经过初等变换可以换成除第一行（或第一列）外其余元素均为0的矩阵，也就是说a的每行元素可以由（b1,b2……bn）乘以一个系数表示，这些系数为a1,a2……an.所以可以写成（1）的形式（当然也可以看做由a1,a2……an为列向量，b1b2……bn为系数）
（2）用（1）中的结论，A^2=(a1,a2……an)'（b1,b2……bn）(a1,a2……an)'（b1,b2……bn）,其中（b1,b2……bn）(a1,a2……an)'可以看做向量内积，是一个常数，设为k,所以A^2=k（a1,a2……an)'（b1,b2……bn）=kA
由于向量实在是不好写，就将就着看吧，意思肯定是这个意思啦！好好加油